Как программировать счетчик матрица

Программирование через доминирующую матрицу

Программирование через доминирующую матрицу

Неоднократно мы повторяли с вами, что окружающий мир человек воспринимает через свою доминирующую матрицу. Например: третьематричный видит возможности, а второматричный ограничения, объясняющие его пассивность. Об этом, к примеру, говорится в поговорке: «Тот, кто хочет, ищет возможности, а кто не хочет – ищет причину». Соответственно одному человеку мы будем что-то доказывать или внушать через его склонность ограничивать себя, а другому – через открывающиеся перспективы. При этом необходимо учесть, что человек третьей матрицы не собирается ждать милости с небес, поэтому никакой халявы ему предлагать не следует – он заподозрит обман или просто не проявит интереса к предложению его пассивного участия.

Когда мы говорим о доминировании какой-то матрицы, нужно понимать, что те яркие отличия, которыми мы пользуемся в этой книге для описания характеров, могут быть не так заметны в поведении конкретного человека. То есть подход должен быть индивидуальным, если не работают предложенные варианты воздействия. Хотя во многих случаях, как я сам убедился, простые формулы из тех, которые были предложены в главе о ключевых фразах, оказывают нужное влияние. Как говорится: бери да делай.

Мы же с вами будем учитывать и те моменты, когда необходимо подобрать особенный ключ и ввести его особенным образом. Во-первых, обратимся к тому, как происходит программирование через доминирующую матрицу. Зачастую человека не нужно в чем-то убеждать, если у него существует интерес и достаточный объем энергии на его реализацию. Достаточно просто предложить, и он согласится без уговоров. Например, соблазнить курящего коллегу пойти покурить с вами во время работы не составляет труда. Но что, если вам нужна его помощь? Или вы знаете о его трудностях и хотите ему помочь, но он даже слушать вас не хочет. Вот тут-то и пригодятся ваши знания о том, как его запрограммировать через его матрицы.

Открою вам один секрет: даже являясь доминирующей, матрица может быть большей частью погружена в подсознание. Это затрудняет осознанность и замедляет прогресс во многих делах. И получается, что нам порой приходится активизировать скрытый потенциал даже доминирующей матрицы. И не только у своих коллег, близких, детей и друзей, но и у себя самих. Ведь, начав какое-то дело, мы можем даже не подозревать, как обернется оно в будущем и сколько каких сил потребует. Это все равно что отправляться в долгое путешествие с одним рюкзаком: что приключится в дороге, чего нам захочется или понадобится из вещей и пищи, никогда не угадать заранее.

У нас с вами есть ключи для программирования через матрицы, но нужно учесть, что доминирующая матрица является транслятором программ и ввести программу можно только через нее. Или, во всяком случае, обязательно с учетом ее особенностей.

Например, такой ключ, как «Почувствуй райский уголок в своей душе», мы захотели применить к третьематричному человеку. Это ключ для программирования через первую матрицу, и мы решили им воспользоваться, чтобы расслабить этого человека. Как вы думаете, что будет происходить в его подсознании? Вы попросили человека зарыть глаза, начинаете ему предлагать чувствовать это, а он уже представил, как на всех парах мчится в этот самый рай. И активизируется вовсе не его первая, а третья доминирующая матрица, которая в это время и так достаточно активна. И что же делать? – спросите вы.

Начать нужно с обращения к той матрице, энергия которой доминирует в данный момент, так будет правильно. И в нашем примере мы сначала предлагаем человеку начать движение мысленно к тому месту, где он найдет рай. И здесь мы следуем той последовательности, которая установлена Вселенной, Богом, Природой для любых процессов нашего мира. Например, в фэн-шуй элементы природы сменяют один другой в строгой последовательности, что создает гармонию Природы. Что касается матриц, то последовательность эта нам уже знакома. А именно: первая матрица переходит во вторую, вторая – в третью, третья – в четвертую, а четвертая – в первую. Таков закон Матриц Жизни, если помните. Значит, прежде чем расслабиться, человек третьей матрицы должен достичь своей цели и очутиться в четвертой матрице, то есть добиться успеха. И только потом он позволит себе расслабиться, даже подсознательно.

А ведь наше подсознание более категорично, чем мышление, наш сознательный выбор. Если в нем отпечаталось, что должно быть именно так, то ему трудно доказать что-то обратное. Это заметно в поведении некоторых людей, которых никак не удается убедить в своей правоте, даже если это очевидно всем остальным. Объективная реальность для нашего подсознания не более реальна, чем само подсознание для рационального ума. Два фантастических мира, которые существуют сами по себе, хотя и объединены одним жизненным полем.

Используйте разумно ключи, которые приведены в этой книге, и те, что вы сами подберете к подсознанию нужного человека, с учетом его особенностей, и вы будете приятно удивлены результатами.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Функциональное программирование на примере работы с матрицами из теории линейной алгебры

Вступление

В основе работы с матрицами (в данной статье мы будем рассматривать только двумерные матрицы) лежит мощная математическая теория из области линейной алгебры. Одно определение или действие следует из другого, одна функция вызывает другую. Поэтому для программной реализации функционала математических операций над матрицами функциональные языки подходят очень хорошо. В рамках данной статьи мы рассмотрим конкретные примеры на языке F# и дадим подробные комментарии, как это работает. Так как F# входит в семейство .NET, то полученный функционал можно без каким либо проблем использовать в других императивный языках, например C#.

Определение матрицы и реализация на F#

Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m x n

Матрицы, как правило, обозначаются прописными буквами латинского алфавита и записываются в виде

Для работы с матрицами в F# создадим запись, основанную на двумерной таблице, которую в дальнейшем будем расширять полезными методами для того, чтобы совершать необходимые математические операции над ней.

Добавим вспомогательный метод для инициализации записи двумерным массивом

Входным аргументом функции будет двумерный массив, а на ее выходе — запись типа Matrix. Ниже приведем пример инициализации записи.

Две матрицы A=(aij) и B=(bij) называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. aij=bij для всех i=1,2. m и j=1,2. n

Для реализации этого правила будем использовать переопределенный оператор == и добавим пару полезных функций, которые также понадобятся нам в дальнейшем.

Давайте подробнее рассмотрим код выше. Как можно заметить, здесь есть три функции. Первая функция sizes возвращает размерность матрицы в виде кортежа. Так как мы работаем только с прямоугольными матрицами, то для получения количества строк мы берем полный срез первой колонки и возвращаем ее длину.

Аналогичным способом работает определение количества колонок — получаем полный срез первой строки и возвращаем ее длину.

Следующая функция isEquallySized сравнивает размерность двух матриц и возвращает true если они равны. Для этого она использует уже готовую функцию sizes и просто сравнивает результаты.

Оператор == для поэлементного сравнения двух матриц кажется сложнее, но сейчас вы увидите, что он также простой.

Перед тем, как сравнивать две матрицы, сравним их размерность. Если они не равны, то нет дальше смысла проводить проверку, так как уже понятно, что и матрицы будут не равны.

Далее, на основе исходных матриц matrix1 и matrix2 мы формируем новую матрицу, заполненную true или false, в зависимости от того, совпадают ли соответствующие ячейки обеих матриц.

Функция Array2D.mapi перебирает все элементы matrix1 и передает в обработчик три параметра
x — индекс строки
y — индекс колонки
v — содержимое ячейки
Содержимое ячейки v мы сравниваем с соответствующей ячейкой matrix2 и если они равны, то пишем true, иначе — false.

Если есть хоть одна ячейка с элементом false, то это означает, что матрицы не равны между собой.

Так как Array2D не содержит в себе методов для фильтрации или поиска, то реализуем это сами. Для этого разложим матрицу в линейный список

И найдем хоть одно несовпадение

Функция Seq.contains вернет true если в разложенном списке будет найдено хоть одно значение false. Поэтому нам нужно инвертировать полученный результат, чтобы оператор == работал так, как мы хотим

Матрица O называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.

Пример использования этой функции

Полагаю, что здесь нет ничего сложного, что требует пояснений, поэтому продолжаем.

Матрица, число строк которой равно числу столбцов и равно n, называется квадратной матрицей порядка n

В рамках этого правила мы создадим функцию, которая прямоугольную матрицу трансформирует в квадратную путем отсечения всех элементов, которые не попадают в квадрат.

Комментариев в исходном коде поясняют принцип работы функции, поэтому продолжим.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. треугольная матрица имеет вид

Ниже приведен код функции, который преобразует исходную матрицу в треугольную. Но в нашей функции мы будем работать с прямоугольной матрицей, то есть она может быть не квадратной. Читатель легко может модифицировать код функции так, чтобы она возвращала квадратную треугольную матрицу, используя функцию, которую мы рассмотрели ранее.

Функция Array2D.mapi преобразовывает исходный двумерный массив в новый при помощи обработчика, который принимает три параметра

x — номер строки
y — номер колонки
v — содержимое ячейки

Здесь мы делаем проверку, находится ли элемент ниже главной диагонали и если да, то заполняем ячейку 0. В противном случае — исходным значение из входной матрицы.

Ниже приведен пример использования этой функции.

Получаем следующий результат

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю

Эта функция очень похожа на предыдущую, отличается только условие проверки. Ниже пример использования

Диагональная матрица является единичной и обозначается E, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице

Реализация такой матрицы на F# выглядит так

Операции над матрицами при помощи F#

Суммой двух матриц Amn=(aij)и Bmn=(bij)одинаковых размеров называется матрица того же размера A+B=Cmn=(cij), элементы которой равны сумме элементов матриц A и B, расположенных на соответствующих местах

Пример, для заданных матриц A и B находим сумму A+B

Рассмотрим код для сложения двух матриц

Перед тем, как складывать матрицы, нужно убедиться, что их размерность совпадает, в противном случае функция генерирует исключение. Ниже приведем пример использования данной функции

Произведением матрицы A=(aij) на число k называется матрица kA=(kaij) такого же размера, что и матрица A, полученная умножением всех элементов матрицы A на число k

Матрицу -A=(-1)*A будем называть противоположной матрице A. Из этого определения плавно переходим к следующему

Разностью матриц A и B одинаковых размеров называется сумма матрицы A и матрицы, противоположной к B

Две матрицы называются согласованными, если число столбцов первой равны числу строк второй

Проверка согласованности матриц требуется для их перемножения.

Произведением AB согласованных матриц Amn=(aij) и Bnp=(bjk) называется матрица Cmn=(cik), элемент cik которой вычисляется как сумма произведений элементов i-й строки матрицы A и соответствующих элементов k-го столбца матрицы B

Решение по определению произведения матриц

Рассмотрим код для умножения двух матриц

Давайте разберемся с кодом подробнее.
Перед умножением нужно убедиться, что матрицы являются согласованными

Итоговая матрица будет иметь размерность, в которой количество строк такое же, как у первой матрицы и количество столбцов такое же, как у второй матрицы

После этого мы последовательно перебираем все строки и все столбцы исходных матриц

Вычисляем итоговое значение каждой ячейки

Функция List.fold2 на вход получает два списка (строку и колонку) и передает в обработчик следующие параметры

acc — аккумулятор, содержащий результат предыдущего вычисления
val1 — содержимое ячейки из первого массива. В нашем случае это строка из первой матрицы
val2 — содержимое ячейки из второго массива, то есть колонки второй матрицы

Так как матрицы являются согласованными, то мы уверены, что у нас не произойдет выхода за пределы массивов.

Обработчик добавляет к аккумулятору произведение ячеек из строк и столбца и полученное значение будет передано следующей итерации. Таким образом конечным итогом работы функции List.fold2 будет итоговое значение произведений двух матриц. Остается только заполнить им предварительно созданную пустую матрицу

Которая вернется как результат

Ниже приведем пример использования данной функции

Если k ∈ N, то k-й степенью квадратной матрицы Aназывается произведение k матриц A

Рассмотрим код на F# для произведения матрицы в степень. Здесь будет использоваться хвостовая рекурсия для того, чтобы не переполнить стек при больших значениях степеней. Хвостовая рекурсия — это такая рекурсия, которая компилятором в итоге преобразуется в цикл. По возможности рекомендуется всегда использовать именно хвостовую рекурсию вместо обычной, но для этого нужно чтобы каждый кадр рекурсии возвращал итоговое вычисленное значение. Это значение обычно называется аккумулятором и передается в следующий кадр рекурсии. То есть, в отличие от обычной рекурсии, которая возвращает вычисленное значение вверх по стеку, хвостовая рекурсия передает вычисленное значение вниз по стеку. Каждый новый кадр рекурсии делает свои вычисления и добавляет их к уже ранее вычисленному значению, которое хранится в аккумуляторе. После того, как последний кадр рекурсии отработал, в аккумуляторе уже есть вычисленное значение, которое просто возвращается как результат.

Таким образом, компилятор может оптимизировать код и преобразовать его в обычный цикл.

Код содержит подробные комментарии о том, как он работает. Требует небольшого пояснения, зачем используется единичная матрица? Она нужна для первого кадра рекурсии и служит в качестве базового значения аккумулятора, в котором будет накапливаться итоговый результат.
Ниже рассмотрим пример использования нашей функции

Вычислим следующее произведение

Где E — это единичная матрица. Так как мы не можем к матрице прибавить число, то мы должны прибавлять 3E.

Матрица A T , столбцы которой составлены из строк матрицы A с теми же номерами и тем же порядком следования элементов, называется транспонированной к матрице A

Итоги

В этот статье мы рассмотрели примеры реализации и использования матриц из теории линейной алгебры. А также основных математических операций над ними, с использованием функционального подхода на языке F#. Я надеюсь, что читатель смог оценить ту гибкость, которую дают функциональные языки.

Полный исходный код модуля матриц, фрагменты которого были рассмотрены в рамках статьи, вы сможете найти на гитхабе.

Заключительный момент обзора

Современные FPGA — это сложные, высокопроизводительные устройства. На первый взгляд это пугающе сложные системы для тех пользователей, кто привык работать с микроконтроллерами.

Микроконтроллеры видятся проще для сбора данных, управления ASIC и выполнения математических операций. Однако на практике легко обнаруживается, что для некоторых конкретных применений улучшенная производительность и универсальность достигаются именно разработкой на FPGA.

КРАТКИЙ БРИФИНГ

Zetsila — публикации материалов, интересных и полезных для социума. Новости технологий, исследований, экспериментов мирового масштаба. Социальная мультитематическая информация — СМИ .

Сложение и вычитание матриц

Если в нескольких матрицах совпадает число строк и столбцов, то мы можем их складывать и вычитать. Для вычислений нам нужно поэлементно сложить или вычесть каждый элемент матриц: первый элемент первой матрицы складываем с первым элементом второй матрицы или вычитаем из него и так далее. В результате получаем новую матрицу.

Пример сложения двух прямоугольных матриц с тремя строками и двумя столбцами Пример вычитания двух матриц

Линейная алгебра — программируем с NumPy

Добрый день, уважаемые читатели. В математике существует весомый раздел — линейная алгебра. Её начало берёт с решений систем линейных уравнений, но углубление в экскурс истории выходит за рамки этой статьи. Сегодня мы займемся разбором основных понятий линейной алгебры, таких как матрица, определитель матрицы , метод Гаусса и другие, а также запрограммируем некоторые вещи, используя замечательный пакет NumPy .

Линейная алгебра с нуля — матрицы

Сложно дать точное определение понятию «матрица». Тут ситуация такая же, как и с понятием «множество» в той самой теории множеств. Мы ограничимся тем, что матрица — набор элементов, представляющий собой таблицу, которая имеет столбцы и строки.

В математике обычно матрица записывается следующим образом:

Как правило, матрицы обозначаются заглавными буквами, а i и j — размерность матрицы (кол-во строк и кол-во столбцов соответственно). К примеру, определим матрицу размеров 3 на 2.

Элементы матрицы обычно обозначаются как , т. е. элемент, который находится на пересечении i-ой строки и j-ого столбца.

Теперь рассмотрим несколько видов матриц.

Квадратной матрицей называется матрица, в которой кол-во строк и кол-во столбцов равны. Определим матрицу 3 на 3:

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны 0. Выражаясь математическим языком:

Единичной матрицей является матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, а элементы на главной диагонали равны 1. Такая матрица является квадратной. К примеру, определим единичную матрицу размером 3 на 3:

Единичная матрица является подвидом диагональной матрицы — матрицы, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, а остальные имеют произвольное значение.

Треугольная матрица — матрица, все элементы выше или ниже главной диагонали равны 0. Выделяют два вида треугольных матриц — верхняя треугольная матрица:

и нижняя треугольная матрица:

Теперь перейдём к операциям над матрицами.

Сложение, вычитание, деление и умножение матриц

С операциями сложения, вычитания и деления всё просто — эти операции выполняются поэлементно. К примеру:

Однако, линейная алгебра располагает матричное умножение иным способом: результатом умножения матрицы и матрицы будет матрица . Очень важно, чтобы кол-во столбцов у матрицы А совпадало с кол-вом строк матрицы В.

Умножение воспроизводится следующим образом: элемент матрицы, которую мы получаем в итоге, равен скалярному произведению i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В.

Первым элементом первой строки результирующей матрицы будет скалярное произведение первой строки матрицы А и первого столбца матрицы В, т.е. .

Вторым элементом второй строки будет скалярное произведение второй строки матрицы А и второго столбца матрицы В, т.е. .

Далее по аналогии мы получаем результат:

Теперь, когда мы изучили главную трудность на пути изучения матриц, перейдём к транспонированию матриц.

Транспонирование

Транспонирование матрицы — операция «переворачивания», которая заключается в одном очень простом правиле — строки матрицы становятся столбцами, а столбцы матрицы становятся строками.

Транспонированная матрица от матрицы обозначается как , и если А имеет форму , то будет иметь размер . Разберём на практическом примере:

Далее проследуем к понятию определителя матрицы.

Определитель матрицы

Определитель матрицы — скалярное значение, которое существует только у квадратной матрицы.

Если вдаваться в определения, то определителем матрицы называется сумма всех возможных произведений элементов матрицы с разных строк и с разных столбцов со знаком , где — перестановка, которая переводит номера строчек в номера столбцов. Звучит не очень, правда? Определение запутанное, однако по нему определитель матрицы никто не рассчитывает. Существует несколько методов, о которых мы поговорим в следующей статье, так как статья растянется в 3 раза и потеряет нить повествования.

Мы разберем два случая — определитель матрицы размером и матрицы размером . Очевидно, что для матрицы из одного элемента определитель такой матрицы равен самому элементу.

Для матрицы размером определитель равен разности произведения элементов на главной диагонали и произведения элементов на побочной диагонали.

Определитель матрицы обозначается как матрица, заключенная в прямых скобках. Рассмотрим практический пример:

Для матрицы размером используют правило треугольника, но мы рассмотрим более простое правило:

Здесь прослеживается некая тенденция насчёт рекурсивного вычисления определителя, однако это долго и неэффективно.

Свойства определителя

• определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы
• если у матрицы имеется нулевая строка, её определитель равен 0
• если матрица имеет две одинаковых строки, её определитель равен нулю
• определитель матрицы не изменится, если к какой-либо строке добавить другую строчку, умноженную на число
• определитель треугольной и диагональных матриц равен произведению элементов главной диагонали
• если матрица имеет две пропорциональных строки, её определитель равен нулю
• определитель единичной матрицы равен 1
• определитель нулевой матрицы равен нулю

Основываясь на этих свойствах, был разработан метод Гаусса вычисления определителя, который мы обязательно рассмотрим в следующей статье, которая также затронет миноры, алгебраические дополнения и теорему Лапласа.

Программируем на Python

Для программирования матриц как массивов мы будем использовать NumPy (от англ. Numeric Python) — великолепный пакет для математических вычислений, написанный на С и Fortran.

Чтобы создать матрицу, воспользуемся функцией np.array, передав туда двумерный список с числами:

Для создания единичной и нулевой матриц воспользуемся функциями np.eye и np.zeros соответственно.

Различие в аргументах очевидно, так как единичная матрица может быть только квадратной и в качестве аргумента принимает кол-во строк и столбцов. А np.zeros предназначена не только для создания двумерных массивов, поэтому мы в качестве аргумента передаем форму массива (в нашем случае размерность равна ).

Транспонировать матрицу (если вдаваться в детали, то правильнее сказать массив, но ради удобства мы будем называть двумерный массив матрицей) можно тремя способами:

• у каждого массива есть атрибут .T , который хранит в себе транспонированную матрицу
• у каждого массива есть метод .transpose() , который возвращает транспонированную матрицу
• такой же функционал реализован в np.transpose()

Чтобы узнать размер матрицы, воспользуемся атрибутом .shape , который есть у каждого экземпляра класса np.ndarray .

Чтобы вычислить определитель матрицы, воспользуемся функцией np.linalg.det :

Модуль np.linalg очень интересен. В нем «запрограммирована» почти вся линейная алгебра 🙂

Заключение

В этой статье мы рассмотрели базовые понятия линейной алгебры, с которых и начинается изучение этой дисциплины. Также мы реализовали транспонирование матриц и вычисление определителя матрицы с помощью NumPy . В следующей статье мы детально рассмотрим более сложные, но не менее интересные вещи.

На этом статья заканчивается. Если вас интересует не только линейная алгебра, но и математический анализ, советую прочитать «Производная. Базовые определения и термины«.

А также подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.